Analyticity of point measurements in inverse conductivity and scattering problems

Abstract

Inverse conductivity and Helmholtz scattering problems with distributional boundary values are studied. In the context of electrical impedance tomography (EIT), the considered concepts can be interpreted in terms of measurements involving point-like electrodes.

The notion of bisweep data of EIT, analogous to the far-field pattern in scattering theory, is introduced and applied in the theory of inverse conductivity problems. In particular, it is shown that bisweep data are the Schwartz kernel of the relative Neumann-to-Dirichlet map, and this result is employed in proving new partial data results for Calderon's problem. Similar techniques are also applied in the scattering context in order to prove the joint analyticity of the far-field pattern.

Another recent concept, sweep data of EIT, analogous to the far-field backscatter data, is studied further, and a numerical method for locating small inhomogeneities from sweep data is presented. It is also demonstrated how bisweep data and conformal maps can be used to reduce certain numerical inverse conductivity problems in piecewise smooth plane domains to equivalent problems in the unit disk.

Väitöskirjassa tutkitaan käänteisjohtavuusongelmia ja Helmholtzin yhtälön sirontaongelmia distributionaalisilla reuna-arvoilla. Impedanssitomografian (EIT) tapauksessa nämä voidaan tulkita mittauksina pistemäisillä elektrodeilla.

Työssä esitellään uusi, käänteissirontateorian kaukokentän kaltainen käsite, EIT:n bisweep- data, jota voidaan hyödyntää käänteisjohtavuusongelmien teoriassa. Erityisesti näytetään, että bisweep-data on suhteellisen Neumann-to-Dirichlet-kuvauksen Schwartzin ydin, minkä avulla todistetaan uusia osittaisdatatuloksia Calderónin ongelmalle. Vastaavia tekniikoita sovelletaan myös sirontateoriassa ja osoitetaan kaukokenttäkuvauksen yhdistetty analyyttisyys.

Lisäksi väitöskirjassa tutkitaan toista hiljattain esiteltyä käsitettä, kaukokentän takaisinsirontadatan tyyppistä EIT:n sweep-dataa ja laaditaan numeerinen menetelmä pienten epähomogeenisuuksien paikantamiseen sweep-datan avulla. Työssä näytetään myös, kuinka bisweep-datan ja konformikuvausten avulla tietyt numeeriset käänteisjohtavuusongelmat voidaan palauttaa paloittain sileistä tason alueista yksikkökiekkoon.