Weight theory on bounded domains and metric measure spaces

Abstract

A weight is a nonnegative, locally integrable function. Muckenhoupt weights are an important class of weights in the study of harmonic analysis and partial differential equations. The present thesis contributes to the theory of local weights defined on a bounded Euclidean domain, as well as weights on metric measure spaces with a doubling measure. We show a two-weight Sobolev-Poincaré inequality on a Boman domain by the dyadic sparse domination method. We first obtain a local weighted inequality for an integral operator supported on a subcollection of dyadic cubes and majoring a continuous operator pointwise. The local inequality is then propagated by a chaining argument. As an application we obtain Poincaré inequalities for certain powers of distance functions, and supersolutions of the p-Laplace equation. A theorem by Wolff states that a weight defined on a measurable subset and satisfying a Muckenhoupt-type compatibility condition has an extension into the whole space. We generalize this theorem to metric measure spaces with a doubling measure. Related to the extension problem, we obtain estimates for Muckenhoupt weights on Whitney chains. We give 11 different characterizations for functions satisfying a weak reverse Hölder inequality. Most importantly, we show that the weak reverse Hölder and weak A-infinity conditions are equivalent in metric spaces with a doubling measure. This is not true of the classical reverse Hölder and A-infinity conditions, unless the measure satisfies another regularity property such as annular decay. The natural maximal and minimal functions commute pointwise with the logarithm of a Muckenhoupt weight. We use this observation to characterize the limiting cases of Muckenhoupt and reverse Hölder conditions. The characterization yields a simple proof of a refined Jones factorization theorem. In addition, we show a boundedness result for the natural maximal function.

Paino on epänegatiivinen, lokaalisti integroituva funktio. Muckenhouptin painot ovat harmonisessa analyysissä ja osittaisdifferentiaaliyhtälöiden teoriassa tärkeä painofunktioiden luokka. Väitöskirja käsittelee Muckenhouptin painojen teoriaa yhtäältä euklidisen avaruuden rajoitetuissa alueissa ja toisaalta metrisissä mitta-avaruuksissa, joissa mitta on tuplaava. Euklidisen avaruuden Boman-alueessa todistetaan kahden painon Sobolev-Poincaré-epäyhtälö käyttäen dyadisia tekniikoita. Alkuperäistä jatkuvaa integraalioperaattoria rajoitetaan pisteittäin dyadisella operaattorilla, jonka kantaja sisältyy valikoimaan dyadisia alikuutioita. Dyadiselle operaattorille todistetaan painotettu normiepäyhtälö, joka yleistyy koko alueeseen Whitney-ketjuja pitkin. Sovelluksina näytetään Poincarén epäyhtälöt eräille etäisyysfunktion potensseille ja p-Laplace-yhtälön superratkaisuille. Wolffin jatkolause euklidisissa avaruuksissa väittää, että avaruuden mitallisessa osajoukossa määritelty Muckenhouptin paino vodaan jatkaa koko avaruuteen, jos ja vain jos se toteuttaa Muckenhoupt-tyyppisen yhteensopivuusehdon. Jatkolause yleistetään metrisiin mitta-avaruuksiin, joissa mitta on tuplaava. Jatko-ongelmaan liittyen näytetään estimaatteja Muckenhouptin painoille Whitney-ketjuilla. Heikko käänteinen Hölderin epäyhtälö on käänteisen Hölderin epäyhtälön ei-tuplaava yleistys. Väitöskirjaan sisältyvässä artikkelissa annetaan kaikkiaan 11 karakterisaatiota funktioille, jotka toteuttavat heikon käänteisen Hölderin epäyhtälön. Erityisesti todistetaan, että tämä epäyhtälö on yhtäpitävä heikon Muckenhouptin ehdon kanssa, kunhan avaruuden mitta on tuplaava. Luonnollinen maksimaali- ja minimaalifunktio kommutoivat Muckenhouptin painon logaritmin kanssa. Tätä ominaisuutta hyödyntäen karakterisoidaan käänteisen Hölderin ja Muckenhouptin ehtojen rajatapaukset. Lisäksi näytetään rajoitettuustulos luonnolliselle maksimaalifunktiolle.