Characterizations and fine properties of functions of bounded variation on metric measure spaces

Abstract

In this thesis we study functions of bounded variation, abbreviated as BV functions, on metric measure spaces. We always assume the space to be equipped with a doubling measure, and mostly we also assume it to support a Poincaré inequality.

A central topic in the thesis are the various characterizations of BV functions. We show that BV functions can be characterized by a pointwise inequality involving the maximal function of a finite measure. Furthermore, we study the Federer-type characterization of sets of finite perimeter, according to which a set is of finite perimeter if and only if the codimension one Hausdorff measure of the set's measure theoretic boundary is finite. Through the study of socalled strong relative isoperimetric inequalities, we establish a slightly weakened version of this characterization.

Moreover, we prove the Federer-type characterization on spaces that support a geometric Semmes family of curves. On such spaces, between every pair of points there is a curve family with certain uniformity properties that resemble the behavior of parallel lines on a Euclidean space. Our proof relies on first proving a characterization of BV functions in terms of curves.

We also study functionals of linear growth, which give a generalization of BV functions. We consider an integral representation for such functionals by means of the variation measure, but contrary to the Euclidean case, the functional and the integral representation are only comparable instead of being equal. As a by-product of our analysis, we are able to characterize those BV functions that are in fact Newton-Sobolev functions.

As an application of the integral representation, we consider a minimization problem for the functionals of linear growth, and show that the boundary values of such a problem can be expressed as a penalty term in which we integrate over the boundary of the domain. For this, we need to study boundary traces and extensions of BV functions. Our analysis of traces also produces novel pointwise results on the behavior of BV functions in their jump sets.

Tässä väitöskirjassa tutkitaan rajoitetusti heilahtelevia funktioita, lyhennettynä BVfunktioita, metrisissä mitta-avaruuksissa. Avaruuden oletetaan aina olevan varustettu tuplaavalla mitalla, ja enimmäkseen oletetaan myös, että Poincarén epäyhtälö pätee.

Keskeinen aihe väitöskirjassa ovat BV-funktioiden erilaiset karakterisaatiot. Työssä osoitetaan, että BV-funktiot voidaan karakterisoida pisteittäisellä epäyhtälöllä, jossa esiintyy äärellisen mitan maksimaalifunktio. Lisäksi tutkitaan äärellisperimetristen joukkojen Federer-tyyppistä karakterisaatiota, jonka mukaan joukolla on äärellinen perimetri jos ja vain jos joukon mittateoreettisen reunan kodimensio yksi Hausdorffin mitta on äärellinen. Työssä todistetaan lievästi heikennetty versio tästä karakterisaatiosta tutkimalla niin sanottuja vahvoja relatiivisia isoperimetrisiä epäyhtälöitä.

Lisäksi osoitetaan, että yllä mainittu Federer-tyyppinen karakterisaatio pätee sellaisissa avaruuksissa, joissa esiintyy geometrinen Semmesin polkuparvi. Tällaisissa avaruuksissa jokaisen kahden pisteen välillä on polkuparvi, jolla on tiettyjä uniformisuusominaisuuksia, jotka jäljittelevät yhdensuuntaisten suorien käyttäytymistä euklidisessa avaruudessa. Federertyyppisen karakterisaation todistus nojautuu käyrien avulla esitettyyn BV-funktioiden karakterisaatioon, joka todistetaan ensin.

Työssä tutkitaan myös lineaarisen kasvun funktionaaleja, jotka muodostavat BV-funktioiden yleistyksen. Tällaisille funktionaaleille tarkastellaan integraaliesitystä variaatiomitan avulla, mutta toisin kuin euklidisessa tapauksessa, funktionaali ja integraaliesitys ovat vain verrannolliset eivätkä yhtäsuuret. Tarkastelujen sivutuotteena onnistutaan karakterisoimaan sellaiset BV-funktiot, jotka ovat Newton-Sobolev-funktioita.

Integraaliesityksen sovelluksena tutkitaan lineaarisen kasvun funktionaaleihin liittyvää minimointiongelmaa ja osoitetaan, että tällaisen ongelman reuna-arvot voidaan esittää sakkoterminä, jossa integroidaan alueen reunan yli. Tätä varten on tutkittava BV-funktioiden reunajälkiä ja jatkeita. Työssä esitetty reunajälkien analyysi johtaa myös uusiin pisteittäisiin tuloksiin koskien BV-funktioiden käyttäytymistä niiden hyppyjoukossa.