Boundary shape analysis of electrical impedance tomography with applications

Abstract

A typical electrical impedance tomography (EIT) reconstruction is ruined if the shape of theimaged body or the electrode locations are not accurately known. In this dissertation, a newapproach based on (boundary) shape analysis is presented for online adaptation of themeasurement geometry model. It is shown that the forward operator of the complete electrode model (CEM) of EIT is Fréchet differentiable with respect to both the outer boundary shape of the object and the electrodelocations. A dual technique allows feasible computation of the gradients in a Newton-type'output least squares' algorithm for the simultaneous reconstruction of the conductivity andthe measurement geometry. Shape calculus techniques are also applied to optimal experimentdesign for EIT. To be more precise, numerical optimization of the electrode positions is carriedout with respect to posterior covariance related criteria derived from the Bayesian inversionparadigm. Special attention is paid to the Sobolev regularity properties of the CEM essential for the shape analysis. By interpolation of Sobolev spaces it is proven that the CEM is a perturbation of the less regular shunt model of EIT. Consequently, instability in the computation of the numerical shape derivative can be expected if the contact resistances are small.

Impedanssitomografiassa (EIT) kappaleen reunanmuodon ja elektrodien sijaintienepätarkka mallinnus pilaa tavallisesti johtavuuden rekonstruktion. Väitöskirjassa esitelläänuusi (reunan)muotoanalyysiin perustuva menetelmä, joka mahdollistaa mittausgeometrianreaaliaikaisen sovittamisen dataan.

Työssä osoitetaan, että EIT:n täydellisen elektrodimallin (CEM) suoran ongelman ratkaisuon Fréchet-derivoituva sekä kappaleen reunanmuodon että elektrodien sijaintien suhteen.Johtavuusjakauma ja mittausgeometria rekonstruoidaan yhtäaikaisesti Newton-tyyppiselläneliösumman minimointialgoritmilla. Tarvittavat gradientit voidaan laskea tehokkaastiduaalitekniikan avulla. Muotoanalyyttisiä menetelmiä sovelletaan myös optimaalisen EIT-mittauksen suunnitteluun, missä elektrodien sijainnit optimoidaan numeerisestiposteriorikovarianssiin liittyvien Bayesiläisten kriteerien mukaisesti.

Erityistä huomiota kiinnitetään CEM:n Sobolev-säännöllisyysominaisuuksiin, jotka ovatolennaisia työssä sovelletun muotoanalyysin kannalta. Sobolev-avaruuksien väliselläinterpolaatiolla osoitetaan, että CEM on perturboitu versio eräästä ideaalisestaelektrodimallista (shunt-malli). Tästä tuloksesta voidaan päätellä muotoderivaattojennumeerisen approksimoinnin epästabiilius, mikäli kontaktiresistanssit ovat pieniä.