Boundedness of singular integral operators and extrapolation of weighted norm inequalities

Abstract

This Master's Thesis concentrates on the boundedness of singular integral operators and the extrapolation of weighted norm inequalities. The analysis takes place in an arbitrary metric measure space X, endowed with a doubling measure.

Considering the first subject, we state conditions which guarantee the boundedness of singular integral operators on the weighted Lp spaces on an arbitrary domain. Furthermore, slightly stronger conditions imply that the operators satisfy the weighted weak (1,1) inequalities. These results are based on the paper by McIntosh and Duong [DuMc99]. Instead of the standard Hörmander condition on the kernel, we make an assumption concerning the existence of a certain approximation of the identity. This approach gives weaker conditions than those of Hörmander, and especially does not require the regularity of the kernel. Therefore, the result can be generalized to arbitrary domains of X.

Martell has developed and extended this approach to the weighted spaces in [Mar04]. His approach is based on the idea of introducing different maximal functions, when considering different operators. The weighted inequalities are obtained through an extensive use of a new sharp maximal operator, connected to the operator at hand via the approximation of the identity, introduced by McIntosh and Duong. In addition to presenting these results, we also give a detailed proof of an applied result concerning operators, which allows a bounded functional calculus.

Our second main interest is an extrapolation theorem, which extends the results of the standard extrapolation of weighted norm inequalities to weights in AInf and to the Lp spaces for any positive p. This extrapolation result is due to Cruz-Uribe, Martell and Perez [CMarPe]. The result can be obtained without any assumptions on the operators. In fact it can be stated in terms of an arbitrary class of pairs of functions, omitting any reference to operators. It is originally proved in Rn and we generalize the result to a general metric measure space, with doubling measure. Most of the generalizations are straightforward, but in some applied results we encounter difficulties that we comment on.

Tässä työssä tutkimme singulaarisia integraalioperaattoreita ja painotettujen normiepäyhtälöiden ekstrapolointia. Analyysi tehdään mielivaltaisessa metrisessä mitta-avaruudessa, jonka mitta on tuplaava.

Integraalioperaattoreiden rajoittuneisuutta koskien esitämme riittävät ehdot, jotka takaavat operaattorin olevan rajoitettu painotetuissa Lrhoo avaruuksissa, tarkasteltuna mielivaltaisessa kompleksitason alueessa. Tämän lisäksi näytämme, että hieman vahvemmat ehdot toteuttaville operaattoreille pätee painotettu heikko (1,1) epäyhtälö. Nämä tulokset perustuvat Mclntoshin ja Duongin esitykseen [DuMc99]. Klassisen Hormanderin ehdon sijaan operaattorin ytimelle asetetaan ehto, joka perustuu eräänlaisen identiteetin approksimaation olemassaoloon. Näin saadaan aikaan teoria, jonka oletukset ovat heikommat kuin klassiseen teorian, ja siten tulokset voidaan laajentaa mielivaltaisiin homogeenisen avaruuden alueisiin.

Martell on yleistänyt nämä tulokset painotettuihin Lrhoo avaruuksiin. Yleistys perustuu ideaan, jonka mukaan apuvälineinä käytettävät maksimaalioperaattorit on valittava tutkittavan operaattorin mukaisesti. Painotetut normiepäyhtälöt saadaankin käyttämällä Fefferman-Steinin maksimaalioperaattorin sijaan uutta maksimaalioperaattoria. Se kiinnitetään tutkittavaan operaattoriin Mclntoshin ja Duongin esittelemän identiteetin approksimaation avulla. Näiden perustulosten lisäksi esitämme yksityiskohtaisen todistuksen teorian sovellukselle, joka käsittelee rajoitetun funktionaalilaskennan sallivia operaattoreita.

Ekstrapolointia koskevat tulokset ovat Cruz-Uriben, Martellin ja Perezin mukaiset [CMarPej. Esitettävä ekstrapolointiteoria yleistää klassisen Muckenhouptin painoilla painotettuja normiepäyhtälöitä koskevan ekstrapolointiteorian. Näin ekstrapolointi voidaan suorittaa mielivaltaisella painolla omega epsilon AInf painotettuun Lrhoo avaruuteen, kaikilla positiivisilla rhoo. Teorian todistamiseksi ei tarvita minkäänlaisia oletuksia tutkittavista operaattoreista. Näin ollen tulokset esitetään yleiselle kokoelmalle funktiopareja, ja siten viittaamatta lainkaan operaattoreihin. Cruz-Uribe, Martell ja Perez esittävät tuloksensa n-uloitteisessa reaalisessa avaruudessa, ja tässä työssä nämä tulokset yleistetään metrisiin avaruuksiin tuplaavalla mitalla.